中学受験の図形問題

twitter で id:hynemoss さんがつぶやいてた問題。

電車に貼られてた中学受験用の頭の体操，幾何問題，電車でずっと考えてたけど分からなかった。ちょっと今から考える

http://twitter.com/hynemoss/status/6043901757

"一辺6cmの四角形ABCD，AB上にAP=3cmとなる点P，AD上にAQ=4cmとなるように点Qをとったときの，∠PCQの角度を求めよ"

http://twitter.com/hynemoss/status/6043932022

中学受験用なので三角関数は使わずにとのこと。


この問題を1週間以上考えて、ようやく解けた。めっちゃうれしい。

答えはまた今度追記する下に書いた。

答え

ここから答え

何人かの回答があったのだけど、どれも正解で、方法が違うのでおもしろかった。

僕のはこれ。


  • QP の延長と CB の延長の交点を R とすると、△PAQ と △PBR がどちらも 3:4:5 の直角三角形になる。(証明略)
  • PQ 上に PS=3 となる点 S をとると、△PBR と △CSR が相似。(一つの角と、それを挟む二辺の比が等しい)
  • よって、CS=6、∠CSR=90° が言える。
  • △CPB と △CPS が合同、△CQD と △CQS が合同。(どちらも三辺が等しい)
  • ∠PCQ は 90° の半分で45°。


すごいと思ったのはこれ。


  • 辺の長さが 3:6 で間の角が 90° の合同な三角形が4つできる。
  • 四角形 CPRS は正方形。(例えば ∠CPR が直角なのは簡単に証明できるから)
  • また、CQ の延長上に R があるのも相似性から簡単に言える。
  • よって、∠PCQ は ∠PCS の半分で 45°。


他の方の回答。